Đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh

Câu I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của nó và đường thẳng .
2. Cho hàm số , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó lớn nhất.

Câu II (4,0 điểm)

1. Tìm nghiệm dương của phương trình .
2. Giải phương trình .

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp có đáy  là hình chữ nhật với . Mặt bên  là tam giác cân tại và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ  đến mặt phẳng  bằng . Tính thể tích khối chóp  theo .
2. Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  theo .

Câu IV (3,0 điểm)  Giải hệ phương trình

                            

Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác  nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số  được xác định bởi  

1. Chứng minh rằng với mọi .
2. Tìm giới hạn của dãy số khi .

—————– Hết —————–     

                                   Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

 

Họ và tên thí sinh:  ………………………………………………….. Số báo danh: ………………………..

Chữ kí của cán bộ coi thi: ……………………………………………………………………………………….